Funksiya tushunchasi.

$\mathbf{1}\mathbf{.}$O'zgarmas va o'zgaruvchi miqdorlar.  Kundalik turmushimizda har qadamda miqdor tushunchasiga kelamiz.

O'lchanishi mumkin bo'lgan va son yoki sonlar bilan ifodalanadigan qiymat miqdor deyiladi.

Masalan, uzunlik , yuz, hajm, og'irlik, harorat, tezlik, tezlanish, kuch va hokazolar. Turli jarayonlarni kuzatish bu jarayonlarda qatnashadigan ayrim miqdorlar o'zgarishini, ayrimlari esa o'zgarmay qolishini ko'rsatadi. Masalan, jismni biror balandlikdan erkin tushishida masofa, vaqt va tezlik o'zgaruvchi miqdorlar , tezlanish esa o'zgarmas miqdordir: $S=\frac{1}{2}g{t}^2$, bu munosabatda $S-$masofa, $t-$vaqt, $g-$erkin tushish tezlanishi.

Geometriyadan ma'lumki, kubning hajmi uning chiziqli o'lchami$-$kub qirrasi uzunligining kubiga teng, ya'ni $V=a^3$ kub birlik, bunda, $V-$kub hajmi, $a-$kub qirrasining uzunligi. Bu formula yordamida ixtiyoriy kub hajmini hisoblash mumkin. 

Yana bir misol. Biror gaz o'zgarmas haroratda siqilsa, uning hajmi $\left(V\right)$ va bosimi $\left(p\right)$ o'zgaradi: hajmi kichrayadi, bosimi ortadi. Bu ikki miqdorning ko'paytmasi Boyl-Mariott qonuniga ko'ra o'zgarmasdan qolaveradi, ya'ni $V·p=c,$ bunda $c-$biror o'zgarmas miqdor. 

Keltirilgan misollarda ikki miqdor o'zaro shunday bog'langanki, bulardan birining mumkin bo'lgan har bir qiymatiga ikkinchisining to'la aniq bir qiymati mos keladi.

Ta'rif. Ikki o'zgaruvchi miqdor orasidagi bog'lanish funksional bog'lanish deyiladi.

Ikki o'zgaruvchi miqdor taqqoslanayotganda ulardan birini erkli o'zgaruvchi miqdor deb, ikkinchisini erksiz o'zgaruvchi miqdor deb qaraladi.

Masalan, doira yuzini aniqlovchi $\mathrm{S}=\pi r{}^2$ munosabatda doiraning radiusi $r$ ni erkli o'zgaruvchi, doiraning yuzi $S$ ni erksiz o'zgaruvchi miqdor deb qaralishi tabiiydir.

$\mathbf{2}\mathbf{.}$Funksiyaning umumiy ta'rifi.

O'zgaruvchi miqdor $x$ ning biror qiymatlar to'plamini qaraylik, ya'ni $Ox$ son o'qidagi biror $D$ nuqtalar to'plamini olaylik. 

Ta'rif. Agar $x$ ning bu to'plamdan olingan har bir qiymatiga tayin qoida asosida boshqa o'zgaruvchi $y$ miqdorning to'la aniq qiymati mos keltirilsa, u holda $y$ miqdor $x$ miqdorning funksiyasi deyiladi. $x$ miqdor $y$ funksiyaning argumenti, $D$ to'plam esa $y$ funksiyaning aniqlanish soxasi deyiladi.

Biz argument $x$ ning funksiyaning aniqlanish soxasi $D$ to'plamdan ixtiyoriysini tanlashga haqlimiz. Shu sababli $x$ miqdor erkli o'zgaruvchi deyiladi. $y$ funksiyaning qiymati esa ixtiyoriy bo'lmay, balki tanlangan $x$ ga ma'lum qoida asosida qat'iy mos qo'yiladi. Shu sababli funksiyani erksiz o'zgaruvchi ham deyiladi. 

$y$ o'zgaruvchi $x$ argumentning funksiyasi ekanligini ifodalash uchun odatda ushbu belgilashlardan foydalaniladi: $y=f\left(x\right);y=g\left(x\right);y=\phi \left(x\right)$va hokazo (bu belgilashlar mos ravishda quyidagicha o'qiladi: igrek barobar ef iks; igrek barobar je iks; igrek barobar fi iks va hokazo). Funksiyani belgilashda ishlatiladigan $f,g,\phi$ hariflari ikki o'zgaruvchi miqdor $x$va $y$orasidagi bog'lanish qoidalarini ifodalaydi. Masalan, $y=x^2+1$ bog'lanishda $f\left(x\right)=x^2+1$ yozuv tanlangan $x$ ning qiymati avval kvadratga ko'tarilishini, so'ngra hosil bo'lgan qiymatga $1$ qo'shilib, $y$ funksiyaning qiymati hosil qilinishini anglatadi. 

$\mathbf{3}\mathbf{.}$Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to'plami.

Ta'rif. Erkli o'zgaruvchi $x$ ning qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami $y$ funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va $D\left(y\right)$ kabi belgilanadi. Erksiz o'zgaruvchi $y$ ning qabul qiladigan qiymatlar to'plami funksiyaning qiymatlar to'plami (o'zgarish sohasi) deyiladi va $E\left(y\right)$ ko'rinishda belgilanadi.

Agar funksiya biror formula bilan berilgan bo'lsa va uning aniqlanish sohasi ko'rsatilmasa, u holda erkli o'zgaruvchi $x$ ning bu formula ma'noga ega bo'ladigan barcha qiymatlar to'plami funksiyaning aniqlanish sohasi ekanligi nazarda tutilgan bo'ladi.

Misol: $1)$$y=\frac{2}{x-2}$ funksiyaning aniqlanish sohasi $2$ dan boshqa barcha haqiqiy sonlar to'plamidan iborat.

$2)$$y=\sqrt{x-2}$ funksiyaning aniqlanish sohasi esa $x\ge 2$ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha haqiqiy sonlar to'plamidan iborat. 

$x=adaf\left(x\right)$ funksiya qabul qiladigan qiymat $f\left(a\right)$ bilan belgilanadi.

Masalan, $f\left(x\right)=x^2+1$bo'lsa, bu holda $f\left(1\right)=1^2+1=2;$  $f\left(a+1\right)={\left(a+1\right)}^2+1=a^2+2a+2;$  $f\left(2\right)=2^2+1=4+1=5$ va hokazo. 

Funksiyaning aniqlanish sohasiga doir misol ko'ramiz. 

1- misol. $y=\frac{x-1}{x^2-4}$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

Yechalishi: Bu funksiya $x$ argumentning kasrning maxrajini nolga aylantiradigan qiymatlaridan boshqa barcha qiymatlarida aniqlangan.

$x^2-4=0$ tenglamani yechib, $x_1=-2;x_2=2$ ekanini topamiz. Shuning uchun berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi $-2$ va $2$ dan boshqa barcha haqiqiy sonlar to'plamidan iborat. 

Javob: $x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-2;2\right)\cup \left(2;+\infty \right).$

Funksiyalarning umumiy xossalari. 

$\mathbf{1}\mathbf{.}$Juft va toq funksiyalar.

Agar: $1)$ funksiyaning aniqlanish sohasi nolga nisbatan simmetrik bo'lsa, ya'ni funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday $x$ uchun $-x$ ham shu aniqlanish sohasiga tegishli bo'lsa; $2)$ funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday $x$ uchun $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ tenglik bajarilsa, $f\left(x\right)$ funksiya juft deyiladi.

Juft funksiyaning grafigi $Oy$ o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi. 

Agar: $1)$ funksiyaning aniqlanish sohasi nolga nisbatan simmetrik bo'lsa; 2) funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday $x$ uchun $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ tenglik bajarilsa, $f\left(x\right)$ funksiya toq deyiladi.

Toq funksiyaning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo'ladi.

O'zining aniqlanish sohasiga tegishli har qanday $x$ uchun $f\left(-x\right)=f\left(x\right),$$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ tengliklardan hech birini qanoatlantirmaydigan funksiya juft ham emas, toq ham emas deyiladi.

Quyidagi tasdiqlar funksiyalarning juft-toqligini tekshirishni osonlashtiradi: 

$1)$ ikki juft funksiya yig'indisi juft funksiya, ikki toq funksiya yig'indisi toq funksiya bo'ladi.

$2)$ ikki juft funksiya ko'paytmasi ham, ikki toq funksiya ko'paytmasi ham juft funksiyalar bo'ladi.

$3)$juft va toq funksiyalar ko'paytmasi toq funksiyalar bo'ladi. 

$y=b$ (bu yerda $b>0-$biror son) formula bilan berilgan funksiya o'zgarmas funksiya deyiladi. Uning grafigi abssissalar o'qiga parallel va ordinatalar o'qidagi $A\left(0;b\right)$ nuqta orqali o'tuvchi to'g'ri chiziqdan iborat. O'zgarmas funksiya juft bo'ladi.

$\mathbf{2}\mathbf{.}$Funksiyalarning o'sish va kamayishi. Funksiyaning monotonligi. 

Berilgan $X$ sonli oraliqda argument $x$ ning shu oraliqqa tegishli katta qiymatiga $f\left(x\right)$ funksiyaning katta qiymati mos kelsa, ya'ni $x_1\in X$va $x_2\in X$ lar uchun $x_2>x_1$ bo'lganda  $f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$ tengsizlik bajarilsa, $f\left(x\right)$ funksiya shu oraliqda o'suvchi deyiladi.

Berilgan $X$ sonli oraliqda argument $x$ ning shu oraliqqa tegishli katta qiymatiga $f\left(x\right)$ funksiyaning kichik qiymati mos kelsa, ya'ni $x_1\in X$ va $x_2\in X$ lar uchun $x_2>x_1$ bo'lganda $f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$ tengsizlik bajarilsa, $f\left(x\right)$ funksiya shu oraliqda kamayuvchi deyiladi. 

Ta'rif: Berilgan sonli oraliqda faqat o'suvchi yoki faqat kamayuvchi funksiya shu oraliqda monoton deyiladi.

Funksiyaning grafigi bo'yicha uni monotonligini aniqlash mumkin.

$1)$

 Funksiya argument $x$ ning har qanday qiymatida o'suvchidir.

$2)$

Funksiya esa $(-\infty ;0]$ oraliqda kamayadi, $[0;+\infty )$ oraliqda o'sadi.

$\mathbf{3}\mathbf{.}$Funksiyaning nollari. 

Argument $x$ ning funksiya qiymatini nolga tenglashtiradigan, $f\left(x\right)=0$ qiymatlari funksiyaning nollari deyiladi.

Masalan, $y=x^2+7x-8$ funksiyaning nollari ikkita: $x_1=8,x_2=1.$

Haqiqatan, $y\left(-8\right)=64-56-8=0,y\left(1\right)=1+7-8=0.$

1- misol. $y=x+\frac{1}{x}$ funksiyaning juft toqligini tekshirish.

Yechilishi: $y=x+\frac{1}{x}$ funksiya sonlar o'qining $x=0$ nuqtadan tashqari barcha nuqtalarida aniqlangan. $y\left(-x\right)$ ni topamiz: 

$y\left(-x\right)=\left(-x\right)+\frac{1}{\left(-x\right)}=-x-\frac{1}{x}=-\left(x+\frac{1}{x}\right).$

Demak, $f\left(x\right)=-f\left(x\right)$ tenglik bajarilyapti. $y=x+\frac{1}{x}$ funksiya$-$toq.

2- misol. $y={\left(x-3\right)}^2+{\left(x+3\right)}^2$ funksiyaning juft toqligini tekshirish.

$y={\left(x-3\right)}^2+{\left(x+3\right)}^2$ funksiya sonlar o'qining barcha nuqtalarida aniqlangan. Funksiya argumenti ishorasini almashtiramiz:

$y\left(-x\right)={\left(-x-3\right)}^2+{\left(-x+3\right)}^2={\left(-\left(x+3\right)\right)}^2+{\left(-\left(x-3\right)\right)}^2=$

$={\left(-1\right)}^2{\left(x+3\right)}^2+{\left(-1\right)}^2{\left(x-3\right)}^2={\left(x-3\right)}^2+{\left(x+3\right)}^2$.

Bu yerda $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ tenglik bajarilyapti, demak, berilgan funksiya juft.